Potencias y Raíces.
Logaritmos.

Para trabajar con números muy grandes, para calcular la superficie de una habitación cuadrada o el volumen de un cubo nos va a resultar útil a usar las potencias. Conoceremos en este capítulo como operar con ellas. Si conocemos la superficie de un cuadrado o el volumen de un cubo y queremos saber cuál es su lado utilizaremos las raíces. En este capítulo aprenderás a usarlas con algo de soltura

CONCEPTO DE POTENCIA: BASE Y EXPONENTE

Una potencia es una forma de escribir de manera abreviada una multiplicación de factores iguales.

La potencia nª de base un número natural n y exponente natural a es un producto de a factores iguales a la base:

nª = n ∙ n ∙ n....a factores....∙ n (a > 0)

El factor que se repite es la base y el número de veces que se repite es el exponente. Al resultado se le llama potencia.

Ejemplos

5 x 5 x 5 x 5 = 5^4 = 625

Clic en la imagen para más ejemplos

Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados y las de exponente 3 se llaman cubos.

Historia del ajedrez

Cuenta la leyenda que un súbdito enseñó a jugar al ajedrez al príncipe persa Sisso, hijo de Dahir, y le gustó tanto el juego que prometió regalarle lo que pidiera. El súbdito dijo, quiero un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, el doble por la tercera, así hasta llegar a la casilla 64. A Sisso no le pareció una demanda excesiva, y sin embargo ¡no había trigo suficiente en el reino para pagar eso! a) ¿Cómo se debe representar el cálculo? b) ¿Cuántos granos de trigo le dan por la casilla primera? ¿Y por la casilla segunda? ¿Y por la tercera? ¿Y por la suma de las tres primeras casillas? c) ¿Cuántos granos de trigo corresponden a la casilla 10? d) ¿Y a la 64? Utiliza la calculadora para intentar calcular ese número, ¿Qué ocurre?

Las potencias se pueden leer de dos maneras:

a) 5^2 se puede leer 5 elevado a 2 y también se lee 5 al cuadrado

b) 7^3 se puede leer 7 elevado a 3 y también se lee 7 al cubo

c) 8^4 se puede leer 8 elevado a 4 y también se lee 8 a la cuarta

d) 3^5 se puede leer 3 elevado a 5 y también se lee 3 a la quinta.

POTENCIAS DE UNO Y DE CERO

Una potencia, de cualquier base distinta de cero, elevada a cero es igual a 1.

Ejemplos: 7^0 = 1, 2459^0 = 1, 1^0 = 1.

Uno, elevado a cualquier exponente, es igual a 1.

Ejemplos: 1^2 = 1 ∙ 1 = 1, 1^3 = 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1, 1^35 = 1, 1^0 = 1.

Cero, elevado a cualquier exponente distinto de cero, es igual a 0.

Ejemplos: 0^2 = 0 ∙ 0 = 0, 0^3 = 0 ∙ 0 ∙ 0 = 0, 0^35 = 0.

Observación: 0^0 no se sabe cuánto vale, se dice que es una indeterminación.

Potencias de 10 y Notación científica.

Las potencias de base 10 tienen una propiedad muy particular, son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente:

Ejemplo:

10^1 = 10 10^2 = 10 ∙ 10 = 100, 10^3 = 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000, 10^4 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 10 000

¿Sabrías hallar 10^7 sin hacer ninguna operación?

La unidad seguida de ceros es igual a una potencia de 10. Esto nos permite expresar cualquier número en forma polinómica usando potencias de 10.

(2E)Un número en notación científica se expresa como un número distinto de cero, multiplicado por una potencia de base 10.

n ∙ 10ª con el n siendo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Ejemplos:

6928 = 6 ∙ 1 000 + 9 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 8 = 6 ∙ 103 + 9 ∙ 102 + 2 ∙ 10 + 8

La notación científica se utiliza para escribir números muy grandes o muy pequeños. La ventaja que tiene sobre la notación decimal es que las cifras se nos dan contadas, con lo que el orden de magnitud del número es evidente.

Un número puesto en notación científica consta de:

1. Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de las unidades). (A)

2. El resto de las cifras significativas puestas como parte decimal. (,bcdef...)

3. Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número.(10ª )

De 1,2,3 el número N=(A,bcdef..)*10ª. Si a>0 N es un número grande. Si a<0 N es un número pequeño.

Arquímedes, en su tratado "El arenario" cuenta una manera para expresar números muy grandes, como el número de granos de arena que hay en toda la Tierra. Es, efectivamente, un número muy grande, pero no infinito. Imagina que toda la Tierra está formada por granos de arena. Puedes calcular su volumen conociendo su radio que es de 6 500 km. Estima cuántos granos de arena caben en 1 mm^3. Estima que, por ejemplo, caben 100 granos. ¡Ya sabes calcular cuántos hay! Pero en este capítulo aprenderás a escribir ese número tan grande.

OPERACIONES CON POTENCIAS

1. PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE:

Para calcular el producto de dos o más potencias de la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes.

Ejemplos

2. COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE:

El cociente de potencias de igual base es igual a otra potencia de la misma base y de exponente, la diferencia de los exponentes.

Ejemplos

3. ELEVAR UNA POTENCIA A OTRA POTENCIA:

Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

Ejemplos

4. POTENCIA DE UN PRODUCTO:

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevados al mismo exponente

Ejemplos

5. POTENCIA DE UN COCIENTE:

La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los factores elevados al mismo exponente.

Ejemplos

6. Potencias de números enteros (2E)

Para calcular la potencia de un número entero se multiplica la base por sí misma tantas veces como indique el exponente.

- Las potencias de base positiva son números positivos.

- Las potencias de base negativa y exponente par son números positivos. - - Las potencias de base negativa y exponente impar son números negativos

7.Potencias de exponente entero negativo(3E)

Una potencia de base real con a distinto a 0 y exponente natural n < 0 es el inverso de la misma con exponente positivo.

(clic en la imagen para ejemplos)

Potencias de números Racionales(3E)

La potencia de un número racional es otro número racional cuyo numerador y denominador quedan elevados a dicha potencia.

1. Potencias de base racional y exponente negativo: (clic para ejemplos)

El resultado de elevar un número racional a una potencia negativa es otra potencia cuya base es el número racional inverso elevado al mismo exponente positivo.

2. Producto de potencias de base racional

- Con la misma base: El resultado de multiplicar potencias con la misma base es otra potencia con la misma base y exponente la suma de los exponentes.

- Con el mismo exponente:

El resultado de multiplicar potencias con el mismo exponente es otra potencia cuya base es el producto de las bases elevada al mismo exponente.

3. Cociente de potencias de base racional

- Con la misma base:

El resultado de dividir potencias con la misma base es otra potencia con la misma base y el exponente la diferencia de los exponentes.

- Con el mismo exponente:

El resultado de dividir potencias con el mismo exponente es otra potencia cuya base es el cociente de las bases. elevada al mismo exponente.

Ejemplos

RAÍCES

CUADRADOS PERFECTOS:

RAÍZ CUADRADA

La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b cuyo cuadrado es igual al primero:

Obtener la raíz cuadrada exacta es la operación opuesta de la "elevar al cuadrado". El signo de raíz se llama radical y el número colocado por debajo se llama radicando. En el caso de 25 se dice que el valor de la raíz de 25 es 5.

RAÍZ N‐ÉSIMA DE UN NÚMERO

La raíz enésima de un número a, es otro número b, cuya potencia enésima es igual al primero.

(haz clic en la imagen para ver más ejemplos)

El n encima del radical se llama índice de la raíz.

INTRODUCIR FACTORES EN EL RADICAL

Para introducir un número dentro del radical se eleva el número al índice de la raíz y se multiplica por el radicando.

EXTRAER FACTORES DEL RADICAL (1/2/3/4E)

Para extraer números de un radical es preciso descomponer el radicando en factores.

(tened en cuenta: m=n*p+r ) (ejemplo-->)

Para extraer factores de la raíz realizamos el cociente: m dividido entre n tiene de cociente p y de resto r (clic en las imágenes para ejemplos)

SUMA Y RESTA DE RADICALES

Decimos que dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando. Para sumar y restar radicales, estos deben ser semejantes; en ese caso, se operan los coeficientes y se deja el mismo radical. Cuidado, un error muy común: la raíz de una suma (o una resta) NO es igual a la suma (o la resta) de las raíces

Ejemplos

(3E)

POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO(3E)

(clic en la imagen para ejemplos)

OPERACIONES CON RADICALES(3E)

Raíz de un producto

Raíz de un cociente

Raíz de una raíz

Ejemplos

Producto de Radicales(4E)

Para multiplicar radicales debemos convertirlos en radicales de igual índice y multiplicar los radicandos:

1. Calculamos el m.c.m. de los índices

2. Dividimos el m.c.m entre cada índice y lo multiplicamos

por el exponente del radicando y simplificamos

División de radicales(4E)

Para dividir radicales debemos conseguir que tengan igual índice, como en el caso anterior y después dividir los radicales.

Raíz de una raíz

Es la raíz cuyo índice es el producto de los índices, y después simplificamos extrayendo factores fuera el radical si se puede.

Racionalización y ejemplos

Racionalizar una fracción algebraica consiste en encontrar otra equivalente que no tenga radicales en el denominador.

LOGARITMOS (4E)

DEFINICIÓN

El logaritmo de un número m, positivo, en base a, positiva y distinta de uno, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

PROPIEDADES

Logaritmo de producto: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores.

Logaritmo de cociente: El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Logaritmo de potencia: El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.

Logaritmo de producto: El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.