Funciones
Uno de los conceptos más importantes que aparecen en las Matemáticas es la idea de función. Intuitivamente, una función es cualquier proceso por el que se transforma un número en otro. Más formalmente, una función f es una correspondencia que a un número x le asigna un único número y, tal que y = f(x). No es difícil encontrar ejemplos de funciones. El espacio recorrido en función del tiempo, el peso de una persona en función de su altura, lo que pagamos de teléfono en función de los minutos que hablamos.
CONCEPTO DE FUNCIÓN
Definición: Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, tales que a cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un solo valor de la dependiente, y. Para indicar que la variable (y) depende o es función de otra, (x), se usa la notación y = f(x), que se lee “y es función de x”.
Ejemplos de funciones
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Definición de sistema de referencia cartesiano:
Un sistema de referencia cartesiano consiste en dos rectas numéricas perpendiculares, llamadas ejes. El punto en el que se cortan los ejes es el origen del sistema, también llamado origen de coordenadas. Normalmente lo representamos con un eje vertical y el otro horizontal. Al eje horizontal lo denominamos eje de abscisas o también eje X y al vertical eje de ordenadas o eje Y.
Ejemplos
DISTINTAS MANERAS DE DEFINIR UNA FUNCIÓN
Las formas más importantes:
1.Funciones dadas por tablas
Probablemente, la manera más sencilla en la que se puede dar una función es con una tabla de valores. Es además la manera más experimental: observamos un proceso y medimos las cantidades que nos salen. Así tenemos una idea de cómo se relacionan. Dibujar su gráfica no puede ser más sencillo. Basta poner los puntos y, en su caso, unirlos.
2.Funciones dadas por una expresión
En muchísimas ocasiones, sabemos suficiente de la relación entre dos magnitudes como para conocer exactamente una expresión que las relaciona.
Ejemplo: un cuerpo en caída libre -> 𝑦= (1/2)*9.8*x^2 x:el tiempo de la caída en segundos, y: los metros que recorre.
3.Funciones definidas a trozos
Una función definida a trozos es aquella que viene dada por una expresión distinta para diferentes intervalos.
Cinco formas de definir una función:
DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN
- El dominio de una función es el conjunto de valores que la variable independiente (x) puede tomar. Se escribe Dom f o Dom(f).
- El recorrido o rango de una función es el conjunto de valores que la variable dependiente (y) puede tomar. Se escribe Rgf o Rg(f).
Cálculo de dominios
Existen dos operaciones que NO están permitidas.
a. Dividir entre 0.
b. Hacer raíces cuadradas o de índice par de números negativos.
Ten en cuenta que la raíz cuadrada de 0 SÍ está definida (vale 0).
Método para calcular el dominio:
1. Recuadra TODAS las operaciones problemáticas.
2. Para TODAS esas operaciones, plantea una ecuación igualándola a 0. Resuelve dicha ecuación.
3. Representa en una recta todas las soluciones de todas las ecuaciones.
4. Da valores a la función. Un valor en cada intervalo y los valores límite. Si la operación se puede hacer, es que el punto o el intervalo pertenece al dominio. Si no, pues no. Puedes ver si una operación vale, o no, haciéndola con la calculadora. Si sale error, es que no se puede.
5. Representa la solución con intervalos. Si el punto del extremo está, es un corchete como [] y si no, un paréntesis.
Ejemplos
CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
1.Continuidad y Discontinuidades
Intuitivamente, una función es continua si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. En caso contrario, se producen “saltos” en determinados valores de la variable independiente que reciben el nombre de discontinuidades.
Ejemplos
2.MONOTONÍA: CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO
Una función es constante en un intervalo cuando tome el valor que tome la variable independiente, la dependiente toma siempre el mismo valor. En símbolos:
x1 < x2 -> f(x1) = f(x2) , para todo x1 y x2.
Una función es estrictamente creciente en un intervalo cuando al aumentar el valor de la variable independiente aumenta también el de la dependiente. En símbolos:
x1 < x2 -> f (x1) < f (x2) , para todo x1 y x2.
Una función es creciente (en sentido amplio) en un intervalo si es estrictamente creciente o constante. En símbolos:
x1 < x2 -> f (x1) <= f (x2) , para todo x1 y x2.
Una función es estrictamente decreciente en un intervalo cuando al aumentar el valor de la variable independiente disminuye también el de la dependiente. En símbolos:
x1 < x2 -> f (x1) > f (x2) , para todo x1 y x2.
Una función es decreciente (en sentido amplio) en un intervalo si es estrictamente decreciente o constante. En símbolos:
x1 < x2 -> f (x1) => f (x2) , para todo x1 y x2.
Una función es estrictamente monótona en un intervalo cuando es estrictamente creciente o decreciente en dicho intervalo.
Una función es monótona (en sentido amplio) en un intervalo cuando es creciente o decreciente (en sentido amplio) en dicho intervalo.
Ejemplos
3.MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Una función presenta un máximo relativo en un punto cuando la imagen de la función en dicho punto es mayor que en cualquiera de los valores que están a su alrededor (en su entorno). Si, además, la imagen es mayor que en cualquier otro punto de la función, se dice que la función alcanza un máximo absoluto en él.
Una función presenta un mínimo relativo en un punto cuando la imagen de la función en dicho punto es menor que en cualquiera de los valores que están a su alrededor (en su entorno). Si, además, la imagen es menor que en cualquier otro punto de la función, se dice que la función alcanza un mínimo absoluto en él.
Si una función presenta un máximo o un mínimo en un punto, se dice que tiene un extremo en dicho punto, que podrá ser relativo o absoluto.
Ejemplos
4.CURVATURA: CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Una función es convexa si al unir dos puntos de su gráfica el segmento queda por encima de dicha gráfica. Se dice cóncava si al hacer la misma operación queda por debajo. Un punto donde se cambia de cóncava a convexa o viceversa se llama punto de inflexión.
5.SIMETRÍAS
6.PERIODICIDAD
COMPORTAMIENTO EN INFINITO
RECOPILATORIO: CÓMO DIBUJAR UNA FUNCIÓN CÓMO ESTUDIAR UNA FUNCIÓN
AMPLIACIÓN: TRASLACIONES
VALORES ASOCIADOS A LAS FUNCIONES
TASA DE VARIACIÓN Y TASA DE VARIACIÓN MEDIA
TASA DE CRECIMIENTO
