Derivadas
(DERIVADA ES LA PENDIENTE DE UNA FUNCIÓN, EN UN PUNTO O LA PENDIENTE MEDIA DE LA FUNCIÓN QUE SE LLAMA FUNCIÓN DERIVADA)
Conceptos necesarios : función, pendiente de función, límites, continuidad, tasa de variación, tangente
Tasa de variación
Conceptos :
Tasa de variación es la resta f(b) - f(a) en el intervalo (a, b)
Tasa de variación media es (f(b) – f(a))/(b - a) en el intervalo (a, b)
Tasa de variación Instantanea (o derivada) de una función F es el ritmo al que ella cambia para cada x. Si en un x=a toma el valor F(a) nos demuestra con que velocidad corre, la función, hacia el punto F(a+h) cuando h es muy muy pequeño.
Tasa de variación media
-TVM es la pendiente media de una parte de una función en el correspondiente intervalo
-TVM representa el ritmo que cambia la función que estudiamos en un intervalo concreto
- La TVM de una función f en un intervalo (a, b) coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b))
Tasa de variación instantanea
La tasa de variación instantánea(TVI) es una herramienta que nos ayuda a determinar : a) el ritmo que cambia la función que estudiamos en un x concreto, b) la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función que pasa por un punto concreto, c) la derivada de cualquier función en un punto concreto.
TVI = derivada de una función en un punto
Definición de la Derivada
- La derivada es la pendiente de una función. Puede ser la pendiente total de la función o sólo en un punto de la función.
- En puntos que una función no es continua no existe su derivada.
- Si es derivable en un punto, la función, es continua en dicho punto
- Para que sea derivable una función en un punto debe ser derivable por la derecha y por la izquierda. Esto significa que los limites de la derivada por la derecha y izquierda del punto deben existir y coincidir.
Estudio de funciones con la Derivada
Función Derivada
Usamos la formula para encontrar la derivada de una función sin centrarnos en ningún punto o usamos los
- Si f'(a)>0 entonces f(x) creciente en x=a. - Si f´(a)<0 entonces f(x) decreciente en x=a
- Si la f(x) tiene un máximo o un mínimo en (a, f(a)) y f´(a) existe, entonces f´(a)=0
- Denominamos punto singular o crítico de la f(x) todos los puntos que se anule su derivada
- Si f´(a)=0 y f´´(a)>0 entonces (a,f(a)) es un minimo y si f´(a)=0 y f´´(a)<0 entonces (a,f(a)) es un maximo
- Pasos para estudiar una función:
1) Aclaramos su dominio
2) Hallamos su primera y segunda derivada
3) Buscamos donde se anula su prima y donde la funcion no es derivable
4) Hallamos los valores de la función en los extremos de su dominio usando límites
5) Usamos los teoremas para sacar conclusiones