Números Naturales y Divisibilidad
El sistema de numeración decimal es el más usado en todo el mundo y casi en todos los ámbitos
[1, 2, 3, 4,....,∞]
En este sistema el valor de una cifra en un número es diez veces mayor que el de la cifra situada a su derecha y diez veces menor que el valor de la situada a su izquierda. Por eso se dice que es un sistema posicional: el valor de una cifra en un número depende del lugar que ocupe esa cifra.
Introducción: Números Naturales y conceptos básicos
Operaciones Elementales
Multiplicación de números naturales:
Como ya sabes, multiplicar dos números naturales es equivalente a sumar uno de ellos consigo mismo tantas veces como indica el otro.
1. Propiedad conmutativa de la multiplicación: a ∙ b = b ∙ a
2. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma: Si llamamos a, b y c a tres números naturales, se verifica la siguiente propiedad:
a ∙ (b + c) = (a ∙ b) + (a ∙ c)
3. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la resta: Considerando otra vez, a, b y c números naturales cualesquiera, se cumple que:
a ∙ (b – c) = (a ∙ b) – (a ∙ c)
Estas propiedades son muy útiles para hacer cálculos mentales rápidos descomponiendo números: Calcular 15 ∙ 23 mentalmente es complicado, pero si hacemos: 15 ∙ 23 = 15 ∙ (20 + 3) = (15 ∙ 20) + (15 ∙ 3) resulta más sencillo.
División de números naturales:
La palabra “cociente” significa el resultado de hacer una “división” .“División” es, pues, la operación, y “cociente” el resultado de esa operación.
Dividir es repartir un todo entre varios, en partes iguales, para averiguar cuanto le toca a cada uno.
D es el Dividendo, d es el divisor, c es el cociente y r es el resto o residuo de la división. Se verifica que: D=(d*c)+r.
En la división exacta el r=0. En la división entera el r es distinto del 0.
Clic en las imágenes para ver ejemplos:
Jerarquía de las operaciones
1. En operaciones con paréntesis, primero hay que realizar las que están entre paréntesis y luego las demás.
2. En operaciones sin paréntesis, primero se efectúan las multiplicaciones y divisiones y luego, las sumas y restas.
3. En operaciones de igual prioridad, primero la de más a la izquierda.
Ejemplos
Divisibilidad
Múltiplos de un número: Se definen los múltiplos de un número entero n como los números que resultan de multiplicar ese número n por todos los números enteros.
Ejemplo: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90,…. Todos ellos son múltiplos de 5.
Divisores enteros de un número: Ejemplos
1. Un número entero a es divisor de otro número entero b cuando al dividir b entre a, el resto o residuo es 0.
Ejemplo: a) 2 es divisor de 8 porque al dividir 8 entre 2, el resto es 0.
b) 10 es divisor de 20 porque al dividir 20 entre 10, el resto es 0.
c) 6 es divisor de 36 porque al dividir 36 entre 6, el resto es 0.
d) 1 es divisor de 18 porque al dividir 18 entre 1, el resto es 0.
e) 18 es divisor de 18 porque al dividir 18 entre 18, el resto es 0
2. Si a es divisor de b, entonces también se dice que b es divisible por a.
Ejemplo: a) 8 es divisible por 2 porque 2 es divisor de 8, es decir, al dividir 8 entre 2, el resto es 0. b) 20 es divisible por 10 porque 10 es divisor de 20, es decir al dividir 20 entre 10, el resto es 0. c) 36 es divisible por 6 porque 6 es divisor de 36, es decir, al dividir 36 entre 6, el resto es 0
Criterios de Divisibilidad
1. Criterio de divisibilidad por 2 : Un número entero es divisible por 2 cuando su última cifra es 0 o cifra par.
Ejemplo: Los números: 312, 50, 346, 500, 780, 988 son divisibles por 2.
2. Criterio de divisibilidad por 3 : Un número entero es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3
Ejemplo: El número 231 es divisible por 3 ya que 2 + 3 + 1 = 6 que es múltiplo de 3.
El número 1002 es divisible por 3 ya que 1 + 0 + 0 + 2 = 3
3. Criterio de divisibilidad por 4: Un número entero es divisible por 4 si el número formado por las dos últimas cifras del número considerado es múltiplo de 4.
Ejemplo: El número 3 628 es divisible por 4 ya que termina en 28, que es múltiplo de 4.
4. Criterio de divisibilidad por 5: Un número entero es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5.
Ejemplo: Los números 4 875 y 34 590 son divisibles por 5
5. Criterio de divisibilidad por 6 : Un número entero es divisible por 6 cuando lo es a la vez por 2 y por 3.
Ejemplo: El número 7 332 es divisible por 6 ya que: Lo es por 2 por ser par. Lo es por 3, ya que sus cifras suman 15 que es múltiplo de 3.
6. Criterio de divisibilidad por 9: Un número entero es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de 9.
Ejemplo: El número 6 012 es divisible por 9 ya que: 6 + 0 + 1 + 2 = 9.
El número 3 903 no es divisible por 9 ya que: 3 + 9 + 0 + 3 = 15 que no es múltiplo de 9.
7. Criterio de divisibilidad por 10: Un número entero es divisible por 10 cuando termina en 0.
Ejemplo: El número 59 870 es divisible por 10.
8. Criterio de divisibilidad por 11: Un número entero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar impar y la suma de las cifras que ocupan lugar par da 0 o múltiplo de 11
Ejemplo: El número 80 498 es divisible por 11 ya que: (8 + 4 + 8) - (0 + 9) = 11
Números Primos
Un número primo es aquel número natural que tiene EXACTAMENTE dos divisores: el 1 y él mismo.
Se llama número compuesto a aquel número natural que tiene más de dos divisores. Los números 0 y 1 no son ni primos ni compuestos.
La criba de Eratóstenes
Descomposición de un número natural en factores primos
En el caso de los números compuestos se pueden expresar como productos de otros números que no son ni el 1 ni ellos mismos.
Descomponer un número natural en factores primos es expresar dicho número como un producto, donde todos sus factores son números primos.
Ejemplo
20 = 2 ∙ 2 ∙ 5, que se expresaría como 20 = 2² ∙ 5
Para descomponer un número compuesto en sus factores primos, se debe seguir el siguiente procedimiento:
a) Dividir el número natural dado por el menor primo posible utilizando para ello los criterios de divisibilidad si es posible, o realizando la división si no hay otro remedio.
b) Realizar la división, y si el cociente es divisor de dicho número primo, realizar la división.
c) Si el cociente no es divisor de dicho número primo, buscar el menor número primo posible que sea divisor, recurriendo nuevamente a los criterios de divisibilidad o continuar dividiendo.
d) Seguir con el procedimiento hasta obtener el cociente igual a uno.
Máximo común divisor de varios números
Se llama máximo común divisor de varios números naturales al mayor de los divisores comunes a todos ellos y se escribe M.C.D
Ejemplo
Vamos a calcular los divisores de los números 24 y 36:
Divisores de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 y los divisores de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
¿Cuáles son los mayores divisores comunes a ambos? El 12! escribimos: M.C.D (24, 36) = 12
Cálculo del M.C.D:
1. Factorizamos los números.
2. Tomamos los factores comunes a todos los números elevados el menor exponente. 3. El producto de los factores considerados en el paso 2 es el M.C.D
Más Ejemplos
Mínimo común múltiplo de varios números
El mínimo común múltiplo de varios números naturales es el menor de los múltiplos que tienen en común, y se escribe m.c.m.
Cálculo del m.c.m:
1. Factorizamos los números
2. Tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
3. El producto de esos factores del paso anterior es el m.c.m.
Ejemplos
